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Qual è il prossimo?

La domanda a prima vista enigmatica o esoterica - dipende dalla vostra sensibilità o dalle vostre manie - è riferita ai numeri primi: qual è il prossimo? In questa domanda è racchiuso uno dei più grandi enigmi della matematica, se non il pià grande e riguarda i numeri primi.


Se si riuscirà a individuare un regola per pre-vedere la successione dei numeri primi il mondo non sarà più quello che conosciamo oggi. Non so neppure elencarvi quali saranno i principali problemi da risolvere, ma dal punto di vista strettamente crittografico salterebbero tutti i criteri di sicurezza su cui si basano i vostri conti in banca, le transazioni finanziarie e quant'altro.


Uno dei principali punti di forza della crittografia moderna di recente concezione si basa sulla fattorizzazione dei numeri primi. Detto in parole, se si moltiplicano due grandi numeri primi si ottiene come prodotto un grande numero dal quale non è facile risalire ai due fattori che lo hanno generato.


La complessità della ricerca dei fattori (due numeri primi) di tale prodotto è la colonna portante della crittografia: le vostre chiavi per la cifratura si basano su di essa. Finchè non verrà demolita, potete dormire sonni tranquilli (o quasi, i soliti paranoici dicono che la NSA abbia dei supercomputer in grado di farlo, ma questa è un'altra storia).


In  questa pagina, alcune noterelle su un tentativo di individuare una regolarità. Se invece di sbellicarvi dalle risate, vi servite di questo nostro ragionamento, ricordatevi di noi, non fate gli egoisti!



1    19    37    73   109   127   163   181   199   271        
  B   B   C   C   B   B   B   B   E          
 7    43    61    79   97   151   223   241   277            
  C   B   B   B   D   E   B   B              
 13    31    67   103   139   157   193   211   229   283        
  B   C   C   C   B   C   B   B   D          
 2    11    29    47   83   101   137   173   191   227   263   281
  A   B   B   C   B   B   C   B   C   C   B  
 5    23    41    59   113   131   149   167   239   257   293    
  B   B   B   D   B   B   B   E   B   C      
 17    53    71    89   107   179   197   233   251   269        
  C   B   B   B   E   B   C   B   B          

Legenda intervalli fra i due numeri primi:


A=9    B=18    C=36      D=54      E=72

Ho sempre avuto una passione per i numeri primi, fin da quando da giovane mi dilettavo a studiare il famoso teorema di Fermat.Da qualche anno avevo un po’ abbandonato questa passione, a risvegliarla è stato un regalo di mia moglie, un libro sui numeri primi, un testo la cui recensione avevamo letto sulla stampa quotidiana.


Giunto alla pagina 75, ho abbandonato il libro ed ho ripreso in mano un bel quadernone-notes intonso che da anni aspettava di essere utilizzato, ed ho ricominciato a lavorarci, studiando gli intervalli con excel. Purtroppo non sono un programmatore, quindi la mia è stata un’attività un po’ artigianale.


Visto che non ne usciva nulla di interessante (ma sentivo che qualcosa mi sfuggiva, ed era a portata di mano) ho anche progettato di trasformare in binari tutti i primi entro il trecento, pensando che magari sarei riuscito a vedere ciò che in decimale non si vedeva, ma non trovavo il programma, perso chissà dove tra decine di cd (sempre inutili i backup e proprio quando servirebbero di più!).


Allora mi son detto: proviamo a osservare il problema dal di fuori.  In fondo si tratta di una notazione decimale che ha delle sue regole, se fosse a base dodici sarebbe differente.


Proviamo con la somma delle cifre... e così ho messo nella stessa riga:

Al che ho fatto la banale constatazione legata al numero TRE – non esistono numeri primi che abbiamo come somma delle cifre il numero TRE!


Perché?


La risposta è semplice, una regoletta da scuola media, i numeri le cui cifre danno come somma TRE non possono essere primi in quanto sono divisibili per TRE, di conseguenza lo stesso discorso vale


per SEI (in quanto essendo uguale a 3x2 come somma la si trova solamente nei numeri pari, che notoriamente non sono primi a parte il 2!)


e per NOVE (essendo questi multiplo di tre, quindi i numeri che danno somma NOVE rientrano tra i divisibili per tre!).


A questo punto ho calcolato:


Ed ho scoperto che gli intervalli, se si esclude quello tra 2 e11 sono tutti uguali a 18 o a multipli di 18 (ovvero intervalli uguali a 36 – 54 – 72 ... )


Mi sono fermato come si può vedere a 293... Constatare che tutti i numeri primi sono uguali a


3n + 1 (se dalla somma delle cifre si ottiene o 2  o 5 o 8)

oppure a


3n – 1 (se dalla somma delle cifre si ottiene o 1 o 7 o 4)

è venuto da sè.


Provare con qualsiasi numero primo per credere!

I numeri primi, quindi, si possono suddividere in due grandi insiemi:·

Da qui a scoprire una regola che riesca a prevedere quale sia il prossimo numero primo non so se il passo sia lungo o corto, forse ci vorrebbe qualche programma in cui inserire queste (poche?) variabili e vedere dove ci porterebbe.


A questo punto del lavoro, mi son chiesto: possibile che in centinaia di anni una cretinata così non sia stata indagata?


E sono andato a cercare in rete, ma fino a questo momento non ho trovato alcuna pagina che riporti il numero 18 e i suoi multipli come intervallo fra numeri primi (vedi tabella).


Forse questo ragionamento sul numero 18 è una banalità senza valore oppure dopo il 293 non regge alla verifica, noi ve lo porgiamo così come ci è venuto.


Buona caccia!


Zenone di Elea












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